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Le pile ou face est un Jeu de hasard se jouant avec une Pièce de monnaie. Le principe est de lancer une pièce équilibrée en l'air et de parier sur le coté sorti. La pièce tournoyante est rattrapée et se pose à plat dans la main.

Origine

Dans l'Antiquité, les pièces étaient gravées sur une face du visage de Janus, et sur l'autre du navire qui l'avait amené en Italie. Cependant l'Église fit vite remplacer Janus par une croix, le revers devenant la "pila". Au XIIIe siècle, ce terme symbolisait en latin médiéval la marque du coin qui servait à frapper les monnaies. On disait alors "croix ou pile". Plus tard, après le règne de François Ier, on décida de faire réapparaître un visage sur les pièces. Aujourd'hui encore, jouer à "pile ou face" signifie qu'on laisse une décision se prendre au hasard, en fonction de la face de la pièce qui apparaîtra après le lancé.

Utilisation

On peut jouer au pile ou face en pariant sur une mise, jeu souvent présent dans les exercices de Probabilité. Le lancer est l'exemple typique d'une épreuve de Bernoulli.

Ce jeu permet d'aider à la décision d'un choix binaire. On laisse alors le hasard choisir. En sport, l'arbitre lance une pièce pour savoir quelle équipe va choisir son coté de terrain.

Probabilités

Le lancer de pièces suit une Loi binomiale B(n, 0,5), n étant le nombre de lancers et 0,5 est la probabilité d'avoir chaque face, si les pièces sont équilibrées. Si une pièce n'est pas équilibrée, alors la face pile a une probabilité p ≠ 0,5 d'apparaitre, on a donc une loi binomiale B(n, p).

Déterminer si la pièce est faussée

Si l'on jette la pièce plusieurs fois de suite, on ne va pas obtenir une alternance stricte de piles et de faces. La fréquence observée pour chaque événement va se voir s'approcher de la fréquence théorique sur un grand nombre de lancer, par exemple 100.

Si l'on jette la pièce deux fois de suites, on a l'arbre des évènements possibles suivant :

                     .
                    / \\
                   /   \\
 premier lancer   p     f
                 / \\   / \\
 second lancer  p  f  p   f

on a donc une chance sur deux d'avoir deux fois la même figure (deux piles ou deux faces), et une chance sur deux d'avoir une alternance (pile puis face ou face puis pile).

Si l'on fait n lancers, pour savoir si la pièce est équilibrée (c'est-à-dire si l'on a effectivement 50 % de chances d'avoir chaque figure), il faut utiliser un test du χ² d'adéquation à un degré de liberté (puisqu'il y a deux résultats mais que leurs probabilités sont complémentaires). Le nombre de lancers minimal est de 10 (5 divisé par la fréquence théorique, 0,5, cf. Test du χ² > Conditions du test). Si l'on appelle O_p le nombre de lancers donnant « pile », le nombre de lancers donnant « face » est n - O_p. On a le tableau de résultats suivant :

Résultat de n lancers

Résultat	Nombre d'occurrences
Pile	Op
Face	n - Op

Le χ² est

χ 2 = n

(O p - n × 0,5) 2 ––––––––––––––––––––––– n × 0,5

+ n

(n - O p - n × 0,5) 2 ––––––––––––––––––––––––––––– n × 0,5

<br><h 2>0,5 n +

O p 2 - nO p –––––––––––– 0,5 n

n

La probabilité p que la pièce soit équilibrée est déterminée en fonction des valeurs tabulées du χ². Par exemple, si le χ² est inférieur ou égal à 0,000 2, alors il y a 99 % de risque que la pièce soit équilibrée (1 % de chances qu'elle soit faussée) ; si le χ² est supérieur ou égal à 6,63, alors il y a 1 % de risque que la pièce soit équilibrée (99 % de chances qu'elle soit faussée).

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